Uso dos números complexos para analise de circuitos CA

Utilizando os números complexos e suas propriedades é possível fazer a analise de tensão, corrente e impedância em circuitos de corrente alternada. Este fato auxilia no estudo de circuitos CA porque simplifica os cálculos uma vez que podemos escrever a impedância, corrente e tensão em função dos números complexos.

Os números complexos tiveram sua origem na necessidade em resolver equações em que se encontrava como raiz raiznegativa  , onde n é um numero real. Sabemos que dentre os números reais não existe tais números porem com a criação dos complexos podemos trabalhar com eles.

Um número qualquer raiznegativa   é conhecido como imaginário puro. Definimos que;

definicaoi

 Definimos um numero complexo z da seguinte forma;

numcomplexo,

onde x é a parte real e y a parte imaginaria.

Podemos representar este número no plano cartesiano

numcomplexo_polar

Onde r é o módulo do número complexo e θ é o argumento de Z.

O módulo pode ser encontrado por

modulocomplexo

e o θ por

angulocomplexo

Conhecendo θ e r podemos escrever z da seguinte forma;

numcomplexo_z

Uma maneira muito usada para representar um número complexo na solução de circuitos é a seguinte

 numcomplexo_forma_circuito

Para somar um número complexo z1 = a + ib , com outro z2= x + iy  basta somar parte real com parte real e parte imaginaria com parte imaginaria, com isso obtemos o seguinte número;

Z1+2 = (a+x) + i(b+y)

A forma mais fácil de multiplicar e dividir um número complexo por outro é utilizando a forma polar. Para multiplicar basta somar o ângulos θ e multiplicar os módulos r. Já para dividir, subtraímos os ângulos θ e dividimos os módulos r.

Exemplo seja z1 = 3(cos 30° + i sem 30°) e z2= 4(cos 60° + i sen60°) temos

z1 * z2  =   3*4[cos(30° + 60°) + i sen(30° + 60°) ] = 12(cos90° + isen90°) = 12i

z1 / z2 =  ¾[cos(30° - 60°) + i sen(30° -  60°)] = ¾[cos(-30°) + isen(-30°)]

Conhecendo estas propriedades sobre números complexos podemos resolver circuitos RC , RL e RLC com os números complexos.

Observando o diagrama fasorial de um circuito RL abaixo, podemos encontrar a reatância indutiva, a resistência e a impedância. Isto porque a tensão e corrente possuem modulo e fase, logo podem ser escritas na forma polar dos números complexos.

polar

Sabendo que podemos aplicar a lei de ohm em um circuito AC, podemos  encontrar a reatância indutiva ;

numcomplexo2

Como resultado encontramos que a reatância indutiva é um numero complexo puro. Sabendo que Xl = wL , onde w é a frequência multiplicado por duas vezes pi , podemos definir Xl = iwL.

Para encontrar a resistência operamos da mesma forma.

numcomplexo3

Logo a resistência tem a parte imaginaria nula. Podemos dizer que é uma impedância com a parte imaginaria nula.

Podemos representar a impedância  na sua forma complexa da seguinte forma,

numcomplexo4

Podemos escrever também na seguinte forma

numcomplexo5

Os circuitos RC também podem ser representados na forma complexa. Observando o diagrama fasorial

numcomplexo6podemos encontrar ,

numcomplexo7

logo temos que

numcomplexo8

onde,

 numcomplexo9

Ou seja, a capacitância é a parte imaginaria em um circuito RC. O comportamento do resistor neste circuito é igual ao circuito RL, logo na forma complexa não tem parte imaginaria.

A tensão fornecida pela corrente pode ser colocada na forma complexa  somando a tensão no resistor e a tensão no capacitor na forma complexa.

numcomplexo10

Se dividirmos cada tensão pela corrente obtemos respectivamente, a impedância, a resistência do circuito e a reatância do capacitor. Com essas informações podemos definir a impedância como

numcomplexo11

Quando temos circuitos com mais de uma malha também podemos usar os números complexos como ferramenta. Nestes circuitos o uso dos números complexo facilita muito o trabalho.

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